Архив номеров

Статистический приемочный контроль по количественному признаку на основе экономических показателей и фактического риска потребителя

Статистический приемочный контроль во многих случаях является незаменимым средством оценки качества продукции. За последние 30—40 лет по данной проблематике опубликовано значительное число работ, одной из которых является предлагаемая статья из ретроспективной серии к юбилею журнала. Ее актуальность для современного читателя связана прежде всего с тем, что при обосновании плана контроля авторы учли риски потребителя и поставщика, являющиеся предметом согласования между ними. Такая позиция авторов в значительной степени согласуется с концепцией распределения приоритетов, обсуждавшейся в «юбилейной» статье предыдущего номера.

СТАТИСТИЧЕСКИЙПРИЕМОЧНЫЙ КОНТРОЛЬПО КОЛИЧЕСТВЕННОМУ ПРИЗНАКУНА ОСНОВЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХПОКАЗАТЕЛЕЙ И ФАКТИЧЕСКОГОРИСКА ПОТРЕБИТЕЛЯСтатистические методы контроля качества и надежности технических изделий в настоящее время широко используются для различных классов технических объектов. Среди них наиболее эффективны методы контроля по количественному признаку [1—3].

Традиционный подход к определению планов контроля основывается на процедуре проверки статистических гипотез относительно контролируемого параметра. Если контролируется доля дефектности в контролируемой совокупности, то для построения плана контроля должны быть заданы: браковочный уровень дефектности q1; приемочный уровень дефектности q0; допустимый уровень риска потребителя (вероятность принять партию при условии, что q = q1) β; допустимый уровень риска поставщика (вероятность забраковать партию при условии, что q = q0) α.

Однако при этом сами величины α, β, q1, q0 являются предметом согласования между потребителем и поставщиком, что затрудняет условия принятия объективных решений.

Инженерное приложение статистических методов контроля качества и надежности на основе традиционного подхода встречает ряд затруднений, основное из которых — обоснованный выбор величин α, β, q1, q0, что отмечается во многих работах по методам статистического анализа [2, 4]. Одним из путей преодоления этих затруднений является использование дополнительной информации о виде априорного распределения контролируемого показателя качества по результатам контроля большого числа партий в условиях стабильного технологического процесса и затрат поставщика при контроле.
В настоящее время имеется много работ по построению экономичных планов контроля по альтернативному признаку [2, 3]. B данной статье предлагается процедура статистического приемочного контроля по количественному признаку на основе экономических показателей с учетом априорного распределения и фактического риска потребителя. Подобные процедуры контроля для допустимого риска потребителя рассмотрены в работах [5, 6].

Сформулируем задачу. Будем считать, что качество изделия характеризуется некоторым количественным признаком x. Условие соответствия изделия поставленным требованиям по контролируемому параметру x примем в виде:

x ∈D, D = {a, } или D = {− , b},
(1)

т. е. будем считать, что он имеет ограничение по нижнему a или верхнему b допуску.

Относительно доли дефектности примем следующие предположения. Поскольку изделия поступают на контроль партиями, производство которых подвержено действию различных дестабилизирующих факторов, то причину доли дефектности q можно считать случайной с некоторым априорным распределением φ(q). Это распределение можно оценить на основании статистического анализа ряда партий изделий, предшествовавших поступившей на контроль.

Обозначим оперативную характеристику плана контроля, т. е. вероятность принять партию с уровнем дефектности q, через L(q). Тогда фактический риск β*, под которым понимается вероятность того, что принятая потребителем продукция будет иметь долю дефектности больше, чем q1, имеет вид:


(2)

Заметим, что понятие фактического риска потребителя наиболее полно отражает его интересы, так как потребителя интересует не доля плохих партий вообще или принятая доля плохих партий среди всех поступивших на контроль, а лишь доля плохих партий среди тех, которые он принял и использует по назначению. Показатель фактического риска все чаще используется в работах по статистическому контролю качества [4, 7, 8].

Требования к качеству продукции потребитель формулирует в виде браковочного уровня дефектности и фактического риска βф. Поставщик должен обеспечить заданные требования к качеству продукции средствами выборочного контроля в условиях стабильного технологического процесса. Этот контроль связан с определенными затратами CΣ, которые состоят из ущерба от забракования продукции Сз и затрат на проведение контроля по установленному плану Ск:

CΣ= Сз + Ск
(3)

Поставщик заинтересован в уменьшении затрат при контроле. Это означает, что выбор плана контроля сводится к решению следующей оптимизационной задачи:

CΣ → min; β* ≤βф
(4)

Рассмотрим решение задачи для наиболее типичного на практике случая, когда контролируемый параметр x имеет нормальное распределение, т. е. x ~ N(μ, σ) (μ и σ — среднее значение и среднее квадратическое отклонение), причем дисперсия σ2 неизвестна. Контроль заключается в том, что по n экземплярам изделий вычисляют выборочные оценки x и s для параметров μ и σ соответственно, а также выборочное значение для нормированного допуска:

 
(5)

Решение о приемке партии по контролируемому показателю осуществляют по правилу:  — партия принимается; h́ < hк — партия бракуется. Здесь hк — контрольный норматив.

Нетрудно видеть, что величина  — это несмещенная оценка параметра h́, равного:


являющегося нормированным допуском для случайного параметра x и принимающего значения в интервале (− ,). Заметим также, что уровень дефектности q связан с нормированным допуском, в рассматриваемом случае, зависимостью:

q = 1 – Φ(h) или h = z1–q 

где
— табулированная функция Лапласа

z1–q — квантиль нормального закона уровня 1 – q или аргумент функции Лапласа, значение которой равно 1 – q.

Учитывая (5), оперативную характеристику и априорное распределение можно записать в виде:

L(q) =L [1 – Φ(h)] =Ĺ(h); φ(q) = φ[1 – Φ(h)] = φ́(h)

а следовательно, формула для фактического риска примет следующее выражение:

 
(6)

где hк = z1–q1.

Известно [9], что случайная имеет нецентральное распределение Стьюдента, т. е.:

 


где δ = h n½ — параметр нецентральности
n — объем выборки, по которой найдена оценка h

Отсюда следует, что оперативная характеристика Ĺ (h) может быть выражена через функцию распределения s (x; n – 1, δ) и зависит от параметров плана контроля n и hк:

 

Функция нецентрального распределения Стьюдента табулирована [6]. Используя нормальную аппроксимацию [9], можно для оперативной характеристики указать следующее выражение:

 

В случае известной дисперсии σ2 (например, по предшествующим данным) оперативная характеристика имеет более простой вид [1]:

Ĺ (h, n, hк) = Φ [(hкh) n½] ,

и метод выбора плана контроля аналогичен общему случаю, когда дисперсия неизвестна.

В качестве априорного распределения контролируемого параметра будем использовать нормальное распределение, так как среднее значение μ от партии к партии меняется, как правило, по нормальному закону, а дисперсия внутри партии в силу стабильности технологического процесса постоянна, т. е.:

 

где ha, σa — среднее значение и среднее квадратическое отклонение априорного распределения, определяемые по результатам предшествующего контроля.

Таким образом, величина фактического риска β*, вычисляемая по формуле (6), является функцией от переменных n и hк, определяющих план контроля: β* = β (n, hк).

Формула (3) для затрат поставщика при контроле примет следующий вид (в предположении, что при отрицательном результате контроля партия бракуется):

 
(7)

где С1 — стоимость контроля единицы продукции;
С2 — стоимость единицы продукции в забракованной части партии;
N — объем партии продукции.
Оптимизационная задача (4), решение которой определяет параметры плана контроля n и hк, в рассматриваемом случае принимает вид:


 
(8)

Особенность данной задачи состоит в том, что при хорошей априорной информации (т. е. при больших запасах по контролируемому параметру) требования потребителя выполняются при любых n ≥ 1, и поэтому контроль не нужен вообще.

Проведенные расчеты показали, что для существования нетривиального решения (n ≠ 0) достаточно выполнения условия:

 
(9)

В случае нарушения этого неравенства контроль по параметру x не требуется.

Учитывая, что максимальное значение объема выборки nmax = [NC2/C1] + 1 , алгоритм решения задачи  (8) сводится к последовательному перебору значений n в пределах от n0 = 2 до nmax и состоит в следующем:

n

hк

CΣ= Ск

3 1,93 182
4 1,97 156
6 2,02 130
10 2,07 104
14 2,10 91
18 2,12 85,8
22 2,13 84,6
24 2,13 84,4
25 2,14 84,2
26 2,15 84,4
  1. Проверяется условие (9): в случае невыполнения неравенства (7) контроль не нужен.
  2. Для каждого n ∈[n0, nmax], начиная с n  =  n0, из выражения (8) определяется максимальное значение n0(n) и вычисляется величина затрат CΣ поставщика по формуле (7).
  3. Процесс перебора по n прекращается на том шаге, на котором произошло изменение поведения функции CΣ(n, hк(n)) — убывание сменилось возрастанием. Соответствующие этому моменту величины n и hк и принимаются в качестве решения.

После выбора плана и его реализации следует проверить соответствие априорного распределения полученным статистическим данным и провести его корректировку.

В случае двустороннего ограничения на контролируемый параметр контроль ведется по каждому ограничению с предварительным распределением требований потребителя на два односторонних.

Планы контроля определяются аналогично случаю одностороннего ограничения на параметр на основе минимизации рассмотренных выше суммарных затрат поставщика при контроле по нижнему и верхнему ограничениям на параметр.

Проиллюстрируем предложенный метод выбора плана контроля на примере. Контролируется сила света изделия типа осветителя. На контроль поступает партия объемом = 1300. Контроль является разрушающим, при этом Ск = Сз. По результатам предшествующего контроля получены параметры априорного распределения ha = 3,2; σa = 0,16. Требуется обеспечить браковочный уровень дефектности q1 = 0,35% при фактическом риске потребителя βф = 0,05.

Результаты расчетов приведены в таблице, откуда видно, что оптимальным планом контроля является n0 = 25; = 2,14. Для данного случая по ГОСТ 20736—75 получаем более жесткий план контроля: n = 35; hк = 2,18.

Таким образом, предлагаемый метод выбора планов контроля не требует задания приемочного уровня дефектности, риска поставщика и при хорошей априорной информации сокращает объемы испытаний.


«Методы менеджмента качества» Август 2019

Рубрика: К юбилею журнала
Автор(ы): О. Тескин, Г. Карташов, А. Макаров
01.08.2019

448
Поделиться:

Подписка